Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado

y = ln ⁡ x e x 2   ,   ( 1,1 )

Passo 1

Fala galera! Nessa questão queremos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto ( 1,1 ) .

A equação da reta tangente tem a seguinte forma:

y - y 1 = m x - x 1

Onde x 1 , y 1 são as coordenadas do ponto dado e m é a inclinação da reta tangente.

E como a gente encontrar esse m então? Fazendo a derivada da função no ponto dado.

Dessa forma, vamos precisar derivar a função dada que é:

y = ln ⁡ x e x 2

Podemos ver que temos aí uma função composta dada por

e x 2

Que é a composição de

f x = x 2

g x = e x

Portanto, para encontrar a derivada desse termo, vamos usar a regra da cadeia.

Depois teremos que usar a regra da multiplicação, pois esse termo está multiplicando x .

E por fim, teremos outra regra da cadeia, pois temos uma função l n ⁡ em que o seu argumento é a função x e x 2

Bom, vamos com calma que a gente consegue resolver isso aí!

Passo 2

Começando pelo começo, temos a função

y = ln ⁡ x e x 2

Aplicando a regra da cadeia nessa função l n composta com a função x e x 2 , temos que:

y ' = 1 x e x 2 x e x 2 '

Beleza. Agora temos que derivar a função x e x 2 . E para isso, vamos aplicar uma regra do produto.

x e x 2 ' = x ' e x 2 + x e x 2 '

A derivada de x é 1.

E a derivada de e x 2 é dada por uma regra da cadeia:

e x 2 ' = e x 2 x 2 ' = e x 2 2 x

Substituindo, temos:

x e x 2 ' = e x 2 + x 2 x e x 2

x e x 2 ' = e x 2 1 + 2 x 2

E por fim, obtemos:

y ' = 1 x e x 2 x e x 2 '

y ' = 1 x e x 2 e x 2 1 + 2 x 2

Cortando termos:

y ' = 1 + 2 x 2 x

Passo 3

Agora, basta substituirmos x = 1 na expressão de f ' ( x ) . Então, temos que

f ' x = 1 + 2 x 2 x

f ' 1 = m = 1 + 2 1 = 3

Passo 4

Agora, podemos escrever a equação da reta tangente, temos que x 1 , y 1 = 1,1   e   m = 3

Então,

y - y 1 = m x - x 1

y - 1 = 3 ( x - 1 )

y = 3 x - 3 + 1

y = 3 x - 2

Resposta

y = 3 x - 2

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