Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado

y = ln ⁡ x 3 - 7   ,   ( 2,0 )

Passo 1

Fala galera! Nessa questão queremos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto ( 2,0 ) .

A equação da reta tangente tem a seguinte forma:

y - y 1 = m x - x 1

Onde x 1 , y 1 são as coordenadas do ponto dado e m é a inclinação da reta tangente.

E como a gente encontrar esse m então? Fazendo a derivada da função no ponto dado.

A nossa função é composta por uma função l n e no seu interior temos uma função polinomial.Como temos uma composição de funções, vamos usar a regra da cadeia que diz que:

y = f g x

y ' = f ' g x g ' x

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada da função y = ln ⁡ x 3 - 7 .

Onde temos a composição das funções:

g x = x 3 - 7

f x = ln ⁡ x

De forma que obtemos:

f g x = ln ⁡ x 3 - 7

Então, utilizando a regra da cadeia

y ' = f ' g x g ' x

E a derivada da função ln ⁡ x é a função 1 / x , dessa forma, para ln ⁡ x 3 - 7 , obtemos 1 x 3 - 7 . E a derivada do polinômio x 3 - 7 , é só aplicar a regra da potência pro x 3 e saber que a derivada constante é zero, portanto ( x 3 - 7 ) ' = 3 x 2

f ' x = 1 x 3 - 7 ⋅ 3 x 2

f ' x = 3 x 2 x 3 - 7

Passo 3

Agora, basta substituirmos x = 2 na expressão de f ' ( x ) . Então, temos que

f ' 2 = m = 3 ⋅ 2 2 2 3 - 7 = 3 ⋅ 4 8 - 7 = 12 1 = 12

Passo 4

Agora, podemos escrever a equação da reta tangente, temos que x 1 , y 1 = 2,0   e   m = 12

Então,

y - y 1 = m ( x - x 1 )

y - 0 = 12 ⋅ ( x - 2 )

y = 12 x - 24

Resposta

y = 12 x - 24

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