Enunciado

43 – 45 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

43. y = 1 + 2 x 10   ,   0,1

Passo 1

Olá, meu amigooo! Vamos resolver essa atividade, eu e você.

A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a curva no ponto dado. A curva é a:

y = 1 + 2 x 10

E o ponto dado é o:

0,1

A equação da reta tangente ao ponto é dada por:

y - y 1 = m x - x 1

Onde:

m = coeficiente angular da reta, é dado pela derivada da curva no ponto a = x .

( x 1 , y 1 ) ponto dado para a equação da reta, é um ponto que a nossa reta contém e costuma ser dado no enunciado.

Então você já sabe que teremos que calcular a derivada da nossa curva. Para isso teremos que utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função composta aqui, temos uma função dentro da outra função.

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

Nesse caso, temos que a função de fora é a potência na 10:

f g x = g x 10

e sua derivada é:

f ' g x = 10 g x 9

Já a função de dentro é:

g x = 1 + 2 x

que derivando fica:

g ' x = 2

Então a derivada da função fica:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

y ' = 10 g x 9 ⋅ 2

y ' = 20 1 + 2 x 9

Então a gente tem o coeficiente angular da reta:

m = y ' = 20 1 + 2 x 9

Agora precisamos do valor dela para x = 0 , pois é nesse ponto que queremos nossa reta tangente:

m = 20

Agora é hora de montarmos nossa reta.

Passo 3

A equação da reta tangente ao ponto é dada por:

y - y 1 = m x - x 1

Substituindo o que temos:

( 0,1 )

y - 1 = 20 x - 0

y - 1 = 20 x

y = 20 x + 1

Resposta

y = 20 x + 1

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