Enunciado

  1. Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y = 4 x - x 2 no ponto ( 1,3 )
    1. Usando a definição 1
    2. Usando a equação 2
  2. Encontre a equação da reta tangente da parte (a)
  3. Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como verificação, dê um zoom em direção ao ponto ( 1,3 ) até que a parábola e a reta fiquem indistinguíveis.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

O enunciado nos pede pra encontrarmos a inclinação da reta tangente à parábola y = 4 x - x 2 no ponto ( 1,3 ) de diferentes formas:

Primeiramente, resolveremos usando a definição 1, que utilizar essa forma de limite:

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

E depois usamos a definição 2, que usa essa outra forma de limite:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Em ambas as definições, x = a é o ponto da reta tangente na curva dada e f ( x ) é a curva dada.

Já para encontrarmos a equação da reta tangente, iremos utilizar a formula:

y - y 1 = m x - x 1

Em que ( x 1 , y 1 ) é o ponto que nos é fornecido.

Veja só! 😁

Passo 2

Letra a)

Substituimos a função na definição 1, temos:

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Como queremos no ponto ( 1,3 ) , então x = a = 1 :

m = lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1

Substituindo f :

f x = y = 4 x - x 2

m = lim x → 1 ⁡ 4 x - x 2 - 3 x - 1

m = lim x → 1 ⁡ - x 2 - 4 x + 3 x - 1

Se a gente substituir x = 1 agora caímos em uma indeterminação de divisão por zero, então temos que dar um jeito de fugir dessa indeterminação.

Podemos fatorar o numerador para vermos se conseguimos uma simplificação:

x 2 - 4 x + 3 = 0

Δ = 16 - 4 1 3

Δ = 4

x = 4 ± 2 2

x 1 = 3

x 2 = 1

Logo podemos rescrever nosso polinômio como:

m = lim x → 1 ⁡ - x 2 - 4 x + 3 x - 1

m = lim x → 1 ⁡ - x - 1 x - 3 x - 1

Assim podemos simplificar e retirar a indeterminação:

m = lim x → 1 ⁡ - x + 3 = - 1 + 3

m = 2

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora, resolveremos usando a equação 2:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Temos que:

f x = y = 4 x - x 2

f 1 = 3

f a + h = 4 ( a + h ) - a + h 2

E:

f 1 + h = 4 ( 1 + h ) - 1 + h 2

Substituindo e calculando:

m = lim h → 0 ⁡ f 1 + h - 3 h

m = lim h → 0 ⁡ 4 ⋅ 1 + h - 1 + h 2 - 3 h

Realizando o produto notável:

m = lim h → 0 ⁡ 4 + 4 h - 1 + 2 h + h 2 - 3 h

Simplificando os termos semelhantes:

m = lim h → 0 ⁡ - h 2 + 2 h h

Simplificando h :

m = lim h → 0 ⁡ - h + 2

Aplicando o limite:

m = 0 + 2

m = 2

Prontinho, chegamos na mesma resposta!

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Letra b)

Pra encerrar temos que fazer um gráfico de f ( x ) e de sua reta tangente. Mas quem é a reta tangente?!!

Conhecemos sua inclinação:

m = 2

Para encontrar a sua expressão fazemos:

y - y 1 = m ⋅ x - x 1

Conhecemos o ponto ( 1,3 ) :

y - 3 = 2 ⋅ ( x - 1 )

y = 2 x - 2 + 3

y = 2 x + 1

Estamos quase lá! 😬

Passo 5

Esboçando os gráficos com o auxilio do GeoGebra:

Agora, dando um zoom no ponto 1,3 :

Repara que nossa parábola se aproxima de uma reta quando damos zoom.

Entendeu tudo? Responde Aí! 😇

Resposta

  1. m = 2
  2. m = 2

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