Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) em x = x 0 , se:

f x = l o g ⁡ ( x )

x 0 = 10

Passo 1

O exercício pede a equação da reta tangente. E se analisarmos a definição derivada é a inclinação da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto P ( a , f a ) que é definida como a reta que passa em P e tem inclinação m , se:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Esse limite é a definição da derivada f ' a . O exercício pede a equação da reta, e a fórmula para calcular essa equação é :

y - y o = m ( x - x 0 )

O exercício fornece a função   f ( x ) e x 0 , então, por consequência nós temos a coordenada de pontos ( x 0 , y 0 ) .

Além disso, como nós já temos a função, podemos fazer a derivação e encontrar m (que é a inclinação da reta). Bora calcular ?

Passo 2

Nós temos a função f x = l o g ⁡ ( x ) no ponto   x 0 = 10 , então calcularemos a função no ponto dado:

f x = l o g ⁡ ( x )

f 10 = l og  ⁡ 10 = 1

Então, a nossa coordenada é ( 10 ,   1 ).

A próxima coisa que faremos é calcular a derivada da função:

f x = l og  ⁡ x

f ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Logo:

m = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Substituindo o valor de x :

m = 1 10 . l n ⁡ ( 10 )

Com essas informações nós conseguimos encontrar a equação da reta.

Passo 3

Nós temos os termos x 0 , y o = 10 ,   1 ;   m = 1 10 . l n ⁡ ( 10 )   podemos aplicar na fórmula:

y - y o = m ( x - x 0 )

y - ( 1 ) = 1 10 . l n ⁡ ( 10 ) ( x - 10 )

Isolando o valor de y ficamos com:

y = 1 10 . l n ⁡ ( 10 ) ( x - 10 ) + 1

Resposta

y = 1 10 . l n ⁡ ( 10 ) ( x - 10 ) + 1

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