Encontre:

y = log_(1/x) e

Passo 1

Quando queremos calcular exercícios como esse, temos que transformar os termos em função do logaritmo natural.

Depois, vamos resolver o exercício com diferenciação logarítmica.

O primeiro passo desse exercício é analisar a função e ver o que pode ser feito:

y = l o g 1 x e

Agora, podemos transformar em logaritmo natural.

Isso significa que iremos mudar a base para o valor de e (número de Euler). Vamos fazer com que a base e o logaritmando se transformem na fração de novos logaritimandos de base e .

Então, eu posso dizer que:

l o g 1 x e = l o g e e l o g e 1 x

Logo:

l o g 1 x e = l n ⁡ ( e ) l n 1 x   = 1 l n 1 x

Agora, podemos começar o processo de diferenciação.

Passo 2

Vamos diferenciar a função :

y = 1 l n 1 x

Aplicando a diferenciação em ambos os lados:

d y d x = d d x . 1 l n 1 x

Vamos inverter a fração do logaritmo para facilitar o cálculo:

d y d x = d d x . - 1 l n x

Para resolver essa derivada usamos a derivada do quociente :

d y d x = f ' g - g ' f g 2

Onde:

f = - 1

g = l n x

Resolvendo:

d y d x = f ' g - g ' f g 2 = 0 - ( - 1 x ) ln ⁡ x 2

d y d x = 1 x . ln ⁡ x 2

Resposta

d y d x = 1 x . ln ⁡ x 2

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