Enunciado

Encontre equações para areta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:

y = 1 + 2 x 2 ,     ( 1 ,   9 )

Passo 1

Falaiii meus amores, bora lá?

No cálculo diferencial, a derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em relação à sua variável independente.

Para uma função y = f x , a derivada f ' ( x ) nos dá a inclinação da tangente à curva da função em qualquer ponto x ,   f x .

A reta tangente a uma curva em um determinado ponto é uma linha reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.

A reta normal a uma curva em um determinado ponto é uma linha reta que é perpendicular à tangente naquele ponto.

Agora, vamos resolver a questão:

Passo 2

Como queremos encontrar as equações das retas tangente e normal no ponto ( 1,9 ) da curva dada por:

y =   ( 1 + 2 x ) 2 = 1 + 4 x + 4 x 2

Vamos encontrar primeiro a equação da tangente. Qualquer reta pode ser dada pela equação na forma

  ( i ) :       y -   y 0   = m   . ( x - x 0 )    

e sabemos também que m = y ' 1,9 .

Então, derivando y ( x ) teremos:

y ' = 4 + 8 x .

Assim, como o ponto de tangência é

x 0   ,       y 0   = 1,9

então:

m =   4 + 8 x 0

= 4 + 8   1

= 12

Portanto, a equação da reta tangente à curva y =   ( 1 + 2 x ) 2 no ponto ( 1,9 ) será dada por:

y - 9 = 12 .   x - 1 → y = - 3 + 12 x

conforme a equação ( i ) .

Passo 3

Sabe-se que da geometria analítica: m N =   - 1 m T (o coeficiente angular da reta normal é igual ao negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente).

Então, a equação da reta normal à curva no ponto ( 1,9 ) , conforme a equação de uma reta dada por ( i ) é:

y - 9 = - 1   1   2     .   x - 1

y = 109 12 - x 12

Pois

m N =   - 1 m

=   - 1 12

Resposta

y = - 3 + 12 x

y = 109 12 - x 12

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45. Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2 x 2 - 1 .
21) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 x 2 + 3 que é paralela à reta 8 x - y + 3 = 0 .
24) Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x que é perpendicular à reta 2 x + 18 y - 9 = 0 .
23) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 - 1 3 x 2 que é perpendicular à reta x - y = 0 .
22) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 3 x 2 - 4 que é paralela à reta 3 x + y = 4 .