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Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

x = t cos ⁡ t ,     y = t ,     z = t   s e n   t ;       ( - π , π ,   0 )

Passo 1

A equação vetorial da curva é r t = ( t cos ⁡ t ,   t ,   t   s e n   t ) .

No ponto ( - π , π ,   0 ) o valor do parâmetro t é π , como pode ser deduzido da segunda equação paraméteica da curva:

y = t ,   y = π →     t = π

Passo 2

A derivada da função vetorial é dada por

r ' t = ( cos ⁡ t - t   s e n   t , 1 , s e n   t + t   c o s   t )

Portanto, o vetor tangente no ponto especificado, ou seja, para t = π , é

r ' π = ( cos ⁡ π - π   s e n   π , 1 , s e n   π + π   c o s   π )

r ' π = ( - 1 ,   1 , - π )

Passo 3

A reta tangente, cujas equações paramétricas procuramos, passa pelo ponto - π , π ,   0 e é paralela ao vetor tangente r ' π = ( - 1 ,   1 , - π )

.Logo, pela Equação 12.5.2, as equações paramétricas podem ser calculadas:

x = - π - t                     y = π + t                     z = 0 - π t

x = - π - t                     y = π + t                     z = - π t

Com base nas equações paramétricas da curva e da reta é possível traçar os gráficos de ambas numa mesma tela utilizando softwares como mostrado abaixo:

Resposta

x = - π - t                     y = π + t                     z = - π t

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