Enunciado

Involuta de um círculo Se uma linha enrolada ao redor de um círculo fixo for desenrolada enquanto é mantida esticada no plano do círculo, sua extremidade P traça uma involuta do círculo. Na figura a seguir, o círculo em questão é o círculo x 2 + y 2 = 1 , e o ponto do traçado inicia em (1, 0). A parte desenrolada da linha é tangente ao círculo em Q, e t é a medida em radianos do ângulo a partir do eixo x positivo ao segmento OQ. Deduza as equações paramétricas

x = cos t + t sen t, y = sen t – t cos t, t > 0

do ponto P(x, y) para a involuta

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos desenhar para nos direcionar:

O ponto é está em (1,0), o ponto P está em (x,y) e os ângulos QOB e P Q D são iguais, além de que PQ tem o mesmo comprimento do arco AQ, isto é, t.

Passo 2

Da figura tiramos que x = OB + BC = OB + DP, ou seja, cos ⁡ t + t   s e n   t . Não entendeu? Olha só, lembrando que a hipotenusa de QOB é 1 e de PQD é t:

cos ⁡ t = O B 1 e sen ⁡ t = D P t

De maneira semelhante, descobrimos o y,

y = P C = Q B - Q D

s e n   t = Q B 1 e cos ⁡ t = Q D t

y = s e n   t - t cos ⁡ t

Esta demonstrado as equações paramétricas.

Bora pro próximo.

Resposta

Demonstração.

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