Enunciado

Encontre as equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado.

y = 2 x x ² + 1 ,     ( 1,1 )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = 2 x x ² + 1 , no ponto ( 1 ,   1 ) .

A inclinação da reta tangente é obtida pela derivada da função, lembra?

m t g = y '

E a equação da reta tangente é dada por:

y - y p = m t g ( x - x p )

Então precisamos achar a derivada da função e substituir na equação junto com o nosso ponto x p ,   y p = ( 1 ,   1 ) .

Em seguida, vamos verificar a equação da reta normal, sabendo que ela é perpendicular à reta tangente e isso nos dá a relação entre as inclinações das retas:

m n o r m a l = - 1 m t g

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função y = 2 x x ² + 1 , usando a Regra do Quociente:

d d x f x g x = x ² + 1 d d x 2 x - 2 x d d x ( x 2 + 1 ) ( x ² + 1 ) ²

Temos:

d d x f x g x = 2 x ² + 1 - 2 x ( 2 x ) ( x ² + 1 ) ²

Aplicando a distributiva na multiplicação:

d d x f x g x = 2 x 2 + 2 - 4 x 2 ( x ² + 1 ) ²

E simplificando:

y ' = - 2 x 2 + 2 ( x ² + 1 ) ²

Passo 3

Então, no ponto ( 1 ,   1 ) , vamos ter:

y ' = - 2 ( 1 ) 2 + 2 ( 1 ² + 1 ) ² = 0 4

y ' = 0

Isso significa que a reta tangente no ponto ( 1 ,   1 ) tem inclinação zero. Colocando isso na equação da reta, que nós vimos lá no passo 1 , vamos ter:

y - y p = m t g ( x - x p )

y - 1 = 0 ( x - 1 )

E a nossa reta tangente é apenas:

y = 1

Passo 4

Nós também queremos a reta normal ao ponto, certo? E sabemos que a reta tangente e a reta normal são perpendiculares entre si. Então, temos a relação:

m n o r m a l = - 1 m t g

Mas no ponto ( 1 ,   1 ) , substituindo a inclinação da reta tangente, teríamos:

m n o r m a l = - 1 0

Isso significa que a inclinação da reta normal é indefinida (vertical), porque vai para infinito. E a equação da reta normal é, portanto, x = 1 , já que é uma linha vertical passando pelo ponto ( 1 ,   1 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r e t a   t a n g e n t e → y = 1

r e t a   n o r m a l → x = 1

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