Enunciado

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado.

∫ 0 π 2 1 + c o s x   3 ,   n = 4

Passo 1

Para solucionarmos a questão, no trapézio, precisamos calcular o ∆ x . A regra do Trapézio é dada por

∫ a b f ( x ) d x ≈ T n = ∆ x 2 [ f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Onde:

∆ x = b - a n

Para o ponto médio, temos que

∫ a b f ( x ) d x ≈ M n = ∆ x [ f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n ]

Onde: x - i = 1 2 ( x i - 1 + x 1 ) .

Para a regra de Simpson,

∫ a b f x d x ≈ S n = ∆ x 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + … + 2 f x n - 1 + 4 f x n - 1 + f x n ]

Passo 2

Fazendo para a regra do trapézio, temos

∆ x = b - a n

∆ x = π 2 - 0 4

Logo, ∆ x = π 8 .

Aplicando na integral,

T 4 = π 8 × 2 [ f 0 + 2 f π 8 + 2 f 2 π 8 + 2 f 3 π 8 + f ( π 2 ) ]

T 4 ≈ 1,838967

Para o ponto médio, temos que

M 4 = π 8 [ f π 16 + f 3 π 16 + f 5 π 16 + f 7 π 16 ]

M 4 ≈ 1,845390

Para a regra de Simpson, fazemos novamente seguindo o modelo,

S 4 = π 8 × 3 [ f 0 + 4 f π 8 + 2 f π 8 + 4 f 3 π 8 + f ( π 2 ) ]

S 4 ≈ 1,843245

Resposta

T 4 ≈ 1,83896 , M 4 ≈ 1,845390 e S 4 ≈ 1,843245 .

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