Enunciado

  1. Verifique que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.
  2. Calcule, caso exista, lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x . (Justifique)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que o limite da função f x = sen ⁡ 1 x quando x tende a zero não existe e calcular o limite de f x = x sen ⁡ 1 x .

Nos dois casos vamos usar o Teorema do confronto para nos ajudar. Sabemos que a função seno é limitada entre - 1 e 1 , para qualquer argumento na função. Então, temos:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

E o teorema do confronto nos diz que quando temos uma função limitada assim, o limite das extremidades tem o mesmo valor, então o limite da função do meio também será igual.

Vamos usar isso como base para verificar a existência o primeiro limite e calcular o segundo.

Vamos lá!

Passo 2

Nós vimos no passo 1 que:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Então, aplicando o limite, vamos ter:

l i m x → 0 - 1 ≤ l i m x → 0 sin ⁡ 1 x ≤ l i m x → 0   1

O limite da constante é a própria constante, assim temos:

- 1 ≤ l i m x → 0 sin ⁡ 1 x ≤ 1

Repare que o que acontece é que a função fica oscilando entre - 1 e 1 quando x vai se aproximando de zero. A gente pode ver isso melhor no gráfico:

Passo 3

Agora para calcular lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x vamos usar a mesma relação do passo 1 :

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando todo mundo por x , temos:

- x ≤ x sin ⁡ 1 x ≤ x

E aplicando o limite para x → 0 :

l i m x → 0 - x ≤ l i m x → 0   x sin ⁡ 1 x ≤ l i m x → 0   ( x )

Então, quando x tende a zero, vamos ter:

0 ≤ l i m x → 0   x sin ⁡ 1 x ≤ 0

E pelo Teorema do Confronto, podemos dizer que:

l i m x → 0   x sin ⁡ 1 x = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x → n ã o   e x i s t e

b) lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

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