Enunciado

(a) Encontre a função de comprimento de arco para a curva medida a partir do ponto P na direção de aumento de t, em seguida reparametrize a curva em realação ao comprimento de arco para o ponto P, e (b) encontre o ponto 4 unidades ao longo da curva (na direção de aumento de t) para P.

r → t = 5 - t i ^ + 4 t - 3 j ^ + 3 t k ^           P ( 4,1 , 3 )

Passo 1

A função de comprimento de arco de uma curva é dado por S ( t ) , mas sabemos que sua derivada é:

d S d t = | r → ' t |

Passo 2

a) Como r → t é uma função vetorial a sua derivada corresponde a derivada de cada componente, então calculando a derivada obtemos:

r → ' t = - 1,4 , 3

Calculando d S d t :

d S d t = r → ' t = - 1 2 + 4 2 + 3 2 = 26

Podemos utilizar o ponto P para encontrar onde começa o limite de integração para poder calcular S ( t ) .

Quando t = 1 , temos exatamente o ponto P. Para verificar isso basta substiruir t = 1 em r → t .

Então a função de comprimento de arco é:

S = S t = ∫ 1 t 26   d t ' = 26   t - 26

Desta forma:

t = 1 + S 26

Reparametrizando a curva:

r → t ( S ) = 4 - S 26 i ^ + 4 S 26 + 1 j ^ + 3 + 3 S 26 k ^

Passo 3

b) Quando S = 4 temos que r → t ( S ) é:

r → t ( 4 ) = 4 - 4 26 i ^ + 16 26 + 1 j ^ + 3 + 12 26 k ^

Resposta

a) r → t ( S ) = 4 - S 26 i ^ + 4 S 26 + 1 j ^ + 3 + 3 S 26 k ^

b) r → t ( 4 ) = 4 - 4 26 i ^ + 16 26 + 1 j ^ + 3 + 12 26 k ^

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