Enunciado

O plano retificante da curva e do ponto é o plano que contém os vetores T → e B → no ponto. Encontre o plano retificante da curva

r → t = s e n   t   i ^ + cos ⁡ t j ^ + tan ⁡ t k ^

E ao ponto

2 2 , 2 2 ,   1

Passo 1

Como dito no enunciado, um plano retificante é aquele que contém o vetor tangente T → e o vetor binormal B → .

A equação geral de um plano pode ser escrita a partir de um vetor normal ao plano.

Mas basta analisarmos o que é um vetor binormal:   B → t = N → t × T → t . O produto vetorial nos fornece um vetor perpendicular aos vetores no qual estamos calulando o seu produto. Logo temos que B → ( t ) é perpendicular tanto a N → t quanto a T → t , mas para termos um plano retificante B → t e T → t precisam estar no mesmo plano, logo N → t é perpendicular a este plano então é um vetor normal ao plano retificante.

Então para calcularmos o vetor normal usamos:

N → t = T → ' t | T → ' t |

Onde o vetor tangente é:

T → t = r → ' t r → ' ( t )

Passo 2

Então para calcularmos o vetor tangente precisamos da derivada da curva em cada componente:

r → ' t = cos ⁡ t   i ^ - s e n   t   j ^ + sec ⁡ ² t k ^

Então o vetor tangente é:

T → t = r → ' t r → ' t = cos ⁡ t ,   - s e n   t , sec 2 ⁡ t 1 + s e c 4 t

O vetor normal é:

N → t = - s e n   t   1 + s e c 4 t + 2 cos ⁡ t   s e c 4 t tan ⁡ t ( 1 + s e c 4 t ) - 1 / 2 1 +   s e c 4 t ,     - c o s   t   1 + s e c 4 t - 2 sen ⁡ t   s e c 4 t tan ⁡ t ( 1 + s e c 4 t ) - 1 / 2 1 +   s e c 4 t ,   2 s e c 2 t tan ⁡ t

Que já está normalizado.

Passo 3

O parâmetro t associado ao ponto   2 2 , 2 2 ,   1 é t = π 4

Então a equação do plano retificante é:

x - 2 2 , y - 2 2 , z - 1 ∙ N → π 4 = x - 2 2 , y - 2 2 , z - 1 ∙ 3 10 10 , 1 3 10 10 , 4 = 0

3 10 10 x - 3 2 0 20 + 1 3 10 10 y - 1 3 2 0 2 0 + 4 z - 4 = 0

3 x + 13 2 y + 4 10 z = 8 2 + 4 10

Resposta

O plano retificante é:

3 x + 13 2 y + 4 10 z = 8 2 + 4 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as equações para o círculo osculador da elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36 nos pontos ( 2,0 ) e ( 0,3 ) . Utilize uma calculadora gráfica ou computador para traçar a elipse e ambos os círculos oscula
Em que ponto a curva x = t 3 , y = 3 t , z = t 4 o plano normal é paralelo ao plano 6 x + 6 y - 8 z = 1 ?
Encontre as equações para o círculo osculador da parábola y = 1 2 x 2 nos pontos ( 0,0 ) e 1 , 1 2 . Trace os dois círculos osculadores e a parábola na mesma tela.
Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I - V I ). Justifique sua escolha. x = cos ⁡ 4 t,y = t,z = s e n4 t
Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I - V I ). Justifique sua escolha. x = t,y = t 2,z = e - t