Enunciado

Encontre uma função cúbica cujo gráfico y = a x 3 + b x 2 + c x + d   tenha tangentes horizontais nos pontos - 2,6 e 2,0 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma função cúbica, com a forma y = a x 3 + b x 2 + c x + d , cujo gráfico tenha tangentes horizontais nos pontos - 2,6 e 2,0 .

Pra começar, vamos lembrar que toda reta tangente tem a seguinte equação:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

Onde x 0 , y 0 é um ponto de tangência, y o = f x 0 é valor da função no ponto de tangência e m = f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Veja só! 😊

Passo 2

Tá, mas o enunciado quer tangente horizontal, certo? Sim, é por isso que a gente precisa achar os parâmetros a , b , c , d de forma que o coeficiente angular seja nulo, ou seja:

m = f ' x 0 = 0

Além disso, vamos lembrar que os pontos de tangência fazem parte da curva! Portanto é igualmete importante considerar que:

y o = f x 0

O enunciado diz pra gente quem é x 0 e y 0 também! Que são os pontos de tangência - 2,6 e 2,0 .

Na prática então vamos procurar valores de a , b , c , d que satisfaçam:

f ' 2 = 0

f ' - 2 = 0

f 2 = 0

f - 2 = 6

Vamos lá!

Passo 3

Vamos começar vendo as duas primeiras condições, que falam da primeira derivada da função. Seja:

f x = y = a x 3 + b x 2 + c x + d  

Teremos como derivada:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Substituindo o ponto de tangência x 0 , temos:

f ' x 0 = 3 a x 0 2 + 2 b x 0 + c = 0

Como sabemos que x 0 = 2 ou x 0 = - 2 , ganhamos duas equações:

f ' 2 = 3 a 2 2 + 2 b 2 + c

f ' - 2 = 3 a - 2 2 + 2 b - 2 + c

Mas as retas precisam ser horizontais, então essas derivadas precisam ser zero. Assim, temos:

12 a + 4 b + c = 0

E

12 a - 4 b + c = 0

Passo 4

Galera, olha a malandragem. Já que obtivemos 2 equações, deu pra ver que a ideia é montar um sistema. Mas como são 4 variáveis, a , b , c , d , vamos precisar de 4 equações! As outras duas vão vir de:

y o = f x 0

Seja:

y = a x 3 + b x 2 + c x + d  

Temos no ponto de tangência:

y 0 = a x 0 3 + b x 0 2 + c x 0 + d  

E como f 2 = 0 e f - 2 = 6 , ganhamos as nossas últimas duas equações:

a 2 3 + b 2 2 + c 2 + d = 0

E

a - 2 3 + b - 2 2 + c - 2 + d = 6

O que é o mesmo que:

8 a + 4 b + 2 c + d = 0

E

- 8 a + 4 b - 2 c + d = 6

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 5

Temos que resolver então o sistema com as quatro equações:

12 a + 4 b + c = 0                                                           [ 1 ] 12 a - 4 b + c = 0                                                           [ 2 ] 8 a + 4 b + 2 c + d = 0                                           [ 3 ] - 8 a + 4 b - 2 c + d = 6                                     [ 4 ]

Se somarmos a equação 3 com a 4 , achamos:

8 a - 8 a + 4 b + 4 b + 2 c - 2 c + d + d = 0 + 6

8 b + 2 d = 6

4 b + d = 3         5

Se fizemos equação 1 menos a equação 2 , achamos:

12 a - 12 a + 4 b - - 4 b + c - c = 0 - 0

8 b = 0

b = 0           6

Usando 6 dentro de 5 , concluímos que:

d = 3         7

Usando 6 e 7 dentro de 1 e 4 , fazemos um novo sistema:

12 a + c = 0                             [ 8 ] - 8 a - 2 c = 3                       [ 9 ]

Fazendo duas vezes 8 mais 9 obtemos:

24 a - 8 a + 2 c - 2 c = 0 - 3

16 a = 3

a = 3 16       10

Jogando 10 dentro de 9 achamos:

c = - 9 4     11

Juntando 6 , 7 ,   10 , 11 , fechamos a equação de f x

f x = y = a x 3 + b x 2 + c x + d  

f x = y = 3 16 x 3 - 9 4 x + 3  

Uffa!!

E só pra ajudar a gente, saca só a comprovação gráfica:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y =   3 16 x 3 - 9 4 x + 3

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