Enunciado

A equação y ' ' + y ' - 2 y = x 2 é chamada equação diferencial, pois envolve uma função desconhecida y e suas derivadas y ' e y ' ' . Encontre as constantes A , B e C tais que a função y = A x 2 + B x + C satisfaça essa equação. (As equações diferenciais serão estudadas no capítulo 9 , no volume 2 ).

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as constantes A , B e C que definem a solução y = A x 2 + B x + C , da equação diferencial y ' ' + y ' - 2 y = x 2 .

Pra isso, vamos precisar derivar essa solução genérica, para obter y ' , e derivar mais uma vez, para obter y ' ' . A partir daí, vamos substituir os resultados dessas derivadas na equação diferencial e comparar os coeficientes de ambos os lados da equação.

Isso vai nos dar um sistema de equações, que resolvido nos fornece os valores de A , B e C .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada y = A x 2 + B x + C :

y ' = 2 A x + B

Derivando mais uma vez, temos a segunda derivada:

y ' ' = 2 A

Agora substituindo y ' , y ' ' e y em y ' ' + y ' - 2 y =   x 2 , temos:

2 A + 2 A x + B - 2 ∙ A x 2 + B x + C = x 2

Agora vamos agrupar os termos de acordo com a potência de x . Assim:

- 2 A x 2 + 2 A - 2 B x + 2 A + B - 2 C =   x 2

Dessa forma, conseguimos comparar o polinômio do lado esquerdo da igualdade com o polinômio do lado direito da igualdade.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Comparando os coeficientes dos termos com x 2 , temos:

- 2 A = 1

Isolando A :

A = - 1 2

Da mesma forma, vamos comparar os coeficientes dos termos com x . No lado esquerdo, temos 2 A - 2 B , mas no lado direito não temos nada multiplicando x . Então, teremos apenas:

2 A - 2 B = 0

E como A = - 1 / 2 , temos:

2 A = 2 B → A = B

B = - 1 2

O mesmo acontece com o termo 2 A + B - 2 C do lado esquerdo, então comparamos ele com zero:

2 A + B - 2 C = 0

E substituindo os valores de A e B , encontramos C :

C = 2 A + B 2

C = 2 - 1 2 - 1 2 2 =   - 3 4

Portanto, temos A = - 1 / 2 , B = - 1 / 2 e C = - 3 / 4 . E nossa solução é dada por:

y x =   - 1 2 x 2 - 1 2 x - 3 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x =   - 1 2 x 2 - 1 2 x - 3 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei de Kepler, os planetas no nosso sistema solar movem-se em órbitas elípticas em torno do Sol. Se a posição do planeta mais próximo do Sol ocorrer no instante t = 0 , então a distânc
Usando as fórmulas do Exercício 72 , encontre a distância de Marte ao Sol quando t = 1 ano. Para Marte, use a = 228 × 10 6 km, e = 0,0934 e T = 1,88 ano.
76-77 Verifique o resultado do Exercício 75 para f ( x ) .77- f x = 3 x - 1 3
78-81 Use o resultado do Exercício 75 para calcular a derivada da função f( x ) dada.80- f x = x x + 1
76-77.Verifique o resultado do Exercício 75 para f x . 76. f x = 2 x + 3 2