Enunciado

Encontre uma função f e um número a tais que

6 + int_a^x (f (t))/(t^2) d t = 2 sqrt(x) , AA x > 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a função f e a constante a para o qual seja possível a seguinte expressão:

6 + int_a^x (f (t))/(t^2) d t = 2 sqrt(x) , AA x > 0

Uma forma de resolvermos isso é utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Ficou curioso?? Então bora junto que eu te mostro!! 😉

Passo 2

Se derivarmos toda a expressão, ficamos com:

(d)/(d x) (6 + int_a^x (f (t))/(t^2) d t) = (d)/(d x) (2 sqrt(x))

Se lembra do teorema fundamental do cálculo? Não?! Ele diz o seguinte:

Se

g (x) = int_a^x f (t) d t

Então

g^' (x) = f (x)

Daí, podemos derivar a expressão:

(f (x))/(x^2) = (2)/(2 sqrt(x))

f (x) = (x^2)/(sqrt(x))

f (x) = x^((3)/(2))

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a , para isso, vamos dizer o seguinte x = a , então:

6 + int_a^a (f (t))/(t^2) d t = 2 sqrt(a)

Como os limites de integração superior e inferior são iguais, temos que esta integral vale zero, daí:

6 = 2 sqrt(a)

sqrt(a) = 3

a = 9

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f (x) = x^((3)/(2))

a = 9

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