Enunciado

51.

(a) Se o símbolo   denota a função maior inteiro do Exemplo 10, calcule

i lim x → - 2 + ⁡ x

i i lim x → - 2 ⁡ x

i i lim x → - 2,4 ⁡ x

(b) Se n for um inteiro, calcule

i lim x → n - ⁡ x

i i lim x → n + ⁡ x

(c) Para quais valores de a o limite lim x → a ⁡ x existe?

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei lhe ajudando com esta atividade.

Ela nos pede para resolver o limite de uma função maior inteiro, onde essa função recebe um número x   e nos retorna o inteiro mais próximo.

A função "maior inteiro" em matemática refere-se à função que retorna o maior número inteiro menor ou igual a um dado número real. Essa função é comumente conhecida como a função "parte inteira" ou "parte inteira para baixo". A notação matemática para a parte inteira de um número   (   x   ) é geralmente representada por ( x ) .

A função maior inteiro arredonda um número real para o inteiro mais próximo que é menor ou igual a ele. Por exemplo:

- ( 3.14 ) é 3, pois 3 é o maior número inteiro menor ou igual a 3.14.

- ( - 2.7 ) é -3, pois -3 é o maior número inteiro menor ou igual a -2.7.

- ( 5 ) é 5, pois 5 é um número inteiro e permanece inalterado pela função.

Passo 2

Para o item (a), temos o seguinte:

i lim x → - 2 + ⁡ x

x é a função que retorna o maior inteiro menor que x

Nesse caso, estamos nos aproximando de - 2 pela direita, isto é, valores como:

- 1,997 … →   - 1,998 … → - 1,999 …

Sacou?! Logo, nossa função retornará - 2 , pois é maior inteiro menor que os números que foram mostrados no passo 2!

lim x → - 2 + ⁡ x =   - 2

i i lim x → - 2 ⁡ x

Para acharmos o limite, primeiro temos que ver se os limites laterais são iguais. Caso sejam, o limite existe e é esse valor. Caso contrário, não existe.

O caso lim x → - 2 + ⁡ x já fizemos no item anterior!!

lim x → - 2 + ⁡ x =   - 2

Para lim x → - 2 - ⁡ x , estamos nos aproximando de valores como:

- 2,003 … →   - 2,002 … → - - 2,001 …

Sacou?! Logo, nossa função retornará - 2 , pois é maior inteiro menor que os números acima!

lim x → - 2 - ⁡ x = - 3

Como os limites laterais não são iguais, lim x → - 2 ⁡ x não existe!

i i i lim x → - 2,4 ⁡ x

x é a função que retorna o maior inteiro menor que x

Logo,

- 2,4 =   - 3

Portanto,

lim x → - 2,4 ⁡ x =   lim x → - 2,4 ⁡ - 3 = - 3

Passo 3

b)

i lim x → n - ⁡ x

Nesse caso, estamos nos aproximando de n pela esquerda. Olha só:

n - 2 → n - 1 → n

Logo,

n - 1 ≤ x < n

x = n - 1  

Então,

lim x → n - ⁡ x = n - 1

i i lim x → n + ⁡ x

Esse é bem parecido, mas estamos nos aproximando de n pela direita. Olha só:

n + 2 → n + 1 → n

Logo,

n ≤ x < n + 1

x = n

Então,

lim x → n + ⁡ x = n

Passo 4

(c) Como vemos no item (b):

lim x → n + ⁡ x = n

lim x → n - ⁡ x = n - 1

Então se n for inteiro, os limites laterais são diferentes, portanto, não existe lim x → n ⁡ x . No terceiro tópico do item (a), vimos que para o um número decimal nosso limite existe. Assim,

lim x → a ⁡ x existe se não for inteiro.

Resposta

    1. lim x → - 2 + �� x =   - 2
    2. lim x → - 2 - ⁡ x =   - 3
    3. lim x → - 2 ⁡ x não existe!
    1. lim x → n + ⁡ x = n
    2. lim x → n - ⁡ x = n - 1
  1. lim x → a ⁡ x existe se não for inteiro.
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