Enunciado

Encontre as funções f g x ,   g f x , f f x   e   g ( g x ) e seus domínios:

f x = 1 - 3 x ,     g x = 5 x 2 + 3 x + 2

Passo 1

E aí, tudo bem?! O enunciado nos dá as funções:

f x = 1 - 3 x

  g x = 5 x 2 + 3 x + 2

E pede pra a gente encontrar as funções:

f g x

  g f x

f f x

g ( g x )

Além dos seus domínios!

Pra encontrar as funções compostas é muito simples. A gente pega a função de “fora” escreve e no lugar do x a gente coloca um parênteses a s s i m . Dentro do parêntese a gente escreve a função “de dentro”. Depois disso é só fazer as manipulações e está pronto!

Pra achar o domínio a gente tem que pensar se a função tem alguma restrição. Por exemplo, uma função raiz x o valor dentro da raiz tem que ser sempre positivo. Quando temos um quociente ele deve ser diferente de zero, tem outros casos também! Sabendo disso a gente precisa descobrir os valores de x que são permitidos na função!

Agora bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar com f g x . Escrevemos a função de fora:

f x = 1 - 3 x

Agora no lugar de x colocamos:

g x = 5 x 2 + 3 x + 2

Assim:

f g x = 1 - 3 ( 5 x 2 + 3 x + 2 )

Manipulando e organizando:

f g x = 1 - 15 x 2 + 9 x + 6

f g x = - 15 x 2 - 9 x - 5

Aqui a gente tem uma função polinomial, x não tem nenhuma restrição, portanto o domínio é dos reais!

Passo 3

Agora vamos pra g ( f x ) :

g x = 5 x 2 + 3 x + 2

f x = 1 - 3 x

Assim:

g f x = 5 1 - 3 x 2 + 3 1 - 3 x + 2

Manipulando:

g f x = 5 1 + 9 x 2 - 6 x + 3 1 - 3 x + 2

g f x = 5 + 45 x 2 - 30 x + 3 - 9 x + 2

Chegamos em:

g f x = 45 x 2 - 39 x + 10

De novo temos uma função polinomial, então o domínio é dos reais!

Passo 4

Agora f f x :

f x = 1 - 3 x

Vamos colocar uma função “dentro” da outra e obteremos:

f f x = 1 - 3 1 - 3 x

f f x = - 9 x - 2

Função polinomial, então o domínio é dos reais!

Passo 5

Pra acabar, g g x :

g x = 5 x 2 + 3 x + 2

Então:

g g x = 5 5 x 2 + 3 x + 2 2 + 3 5 x 2 + 3 x + 2 + 2

Temos que:

5 x 2 + 3 x + 2 2 = 25 x 4 + 9 x + 4 + 30 x 3 + 20 x 2 + 12 x

= 25 x 4 + 9 x + 4 + 30 x 3 + 20 x 2 + 12 x

Assim:

g g x = 5 25 x 4 + 30 x 3 + 20 x 2 + 21 x + 4 + 3 5 x 2 + 3 x + 2 + 2

g g x = 125 x 4 + 150 x 3 + 100 x 2 + 105 x + 20 + 15 x 2 + 9 x + 6 + 2

Finalmente temos:

g g x = 125 x 4 + 150 x 3 + 115 x 2 + 104 x + 28

Novamente chegamos em uma função polinomial, então seu domínio é a dos números reais!

Resposta

f g x = - 15 x 2 - 9 x - 5 ,   D → R e a i s

g f x = 45 x 2 - 39 x + 10 ,   D → R e a i s

f f x = - 9 x - 2 ,   D → R e a i s

g g x = 125 x 4 + 150 x 3 + 115 x 2 + 104 x + 28 ,   D → R e a i s

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