Enunciado

Use os gráficos dados de f e g para estimar o valor de f g x para x = - 5 ,   - 4 ,   - 3 ,   … ,   5 . Use essas estimativas para esboçar o gráfico de f   o   g .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu o gráfico das funções f   e g e pediu pra gente descobrir o valor aproximado da composição f g x , quando x vai de - 5 até 5. Depois temos que montar um gráfico com esses resultados.

Observe que o exercício nos pede uma estimativa porque não conseguimos saber o valor exato desses pontos pelo gráfico, já não temos marcações tão específicas. Então, vamos sempre tentar encontrar primeiro o valor da função mais interna, que nesse caso é g ( x ) . Obtendo esse valor, vamos poder estimar o valor de f nesse ponto e teremos o valor da composição f g x .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos primeiro encontrar os valores de g ( x ) , observando o gráfico.

Assim, para x = - 5 , vamos ter o ponto:

Logo,

g - 5 ≈ - 0,2

Agora, vamos colocar esse resultado em f x , para fazer a composição que queremos. Observando o valor de f em x = - 0,2 , temos:

f - 0,2 ≈ - 3,9

Sendo assim, vamos dizer que o nosso primeiro ponto é A = ( - 0.2 , - 3.9 ) . Esse vai ser um ponto que pertence à função de f   o   g , e vai ser importante para montar o gráfico no nosso último passo.

Agora para x = - 4 , temos:

Logo,

g - 4 ≈ 1,1

Agora, colocando esse resultado em f x , encontramos:

f 1,1 ≈ - 3,5

Vamos dizer, então, que B = ( 1.1 , - 3.5 ) , outro ponto da f   o   g .

Legal, né? 😉

Para x = - 3 , temos o ponto em laranja:

Logo,

g - 3 ≈ 2,1

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição que queremos, obtemos:

f 2,1 = - 2

Vamos criar, então, o ponto C = ( 2.1 , - 2 ) da função f   o   g .

Passo 3

Para x = - 2 , vamos ter:

Logo,

g - 2 = 2,9

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição que queremos, observando o ponto em verde, temos:

f 2,9 ≈ - 0,7

E podemos criar o ponto D = ( 2.9 , - 0.7 ) da função f   o   g .

Vamos continuar...

Para x = - 1 , temos:

Logo,

g - 1 ≈ 3,1

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição que queremos:

f 3,1 ≈ - 0,1

Vamos criar o ponto E = ( 3.1 , - 0.1 ) da função f   o   g .

Para x = 0 , temos o ponto em laranja no eixo y :

Isso nos dá:

g 0 ≈ 3

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição, temos:

f 3 ≈ 0

Vamos criar o ponto F = ( 3 ,   0 ) da função f   o   g .

Estamos quase lá! 😇

Passo 4

Para x = 1 , temos:

Então, nosso ponto será:

g 1 ≈ 2,2

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição das funções, obtemos no gráfico:

f 2,2 ≈ - 1,8

Vamos criar o ponto G = ( 2.2 ,   - 1.8 ) da função f   o   g .

Relaxa, estamos acabando!

Para x = 2 , temos:

Logo,

g 2 ≈ 1,3

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição que queremos:

f 1,3 ≈ - 3,1

Vamos criar o ponto H = ( 1.3 ,   - 3.1 ) da função f   o   g .

Para x = 3 , temos o ponto em laranja:

Sendo assim, ficamos com:

g 3 ≈ 0

Agora, colocando esse resultado em f x , obtemos do gráfico:

f 0 ≈ - 4

Vamos criar o ponto H = ( 0 ,   - 4 ) da função f   o   g .

Passo 5

Para x = 4 , temos:

Logo,

g 4 ≈ - 1,9

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição que queremos:

f - 1,9 ≈ - 2,1

Vamos criar o ponto I = ( - 1.9 ,   - 2.1 ) da função f   o   g .

Aguenta aí! 😬

Passo 6

Para x = 5 , temos o ponto laranja:

Logo,

g 5 ≈ - 4

Agora, colocando esse resultado em f x , para fazer a composição das funções, obtemos:

f - 4 ≈ 2

Vamos criar o ponto H = ( - 4 ,   2 ) da função f   o   g .

Finamente!

Passo 7

Beleza, agora que já sabemos os valores estimados da função composta, vamos montar o gráfico com o auxílio do GeoGebra, colocando os pontos achados no plano cartesiano:

Agora, por último, só falta traçar o gráfico (aproximado) da função composta f   o   g :

Aqui vale lembrar que é apenas uma aproximação, já que não sabemos precisamente qual o valor de cada f ( x ) ou g ( x ) .

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

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