Enunciado

Encontre as funções f g x ,   g f x , f f x   e   g ( g x ) e seus domínios

f x = s e n x ,   g x = 1 - x

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem que encontrar funções compostas.

Para isso, devemos lembrar que uma função composta nada mais é do que uma função “dentro” da outra. Dessa forma, vamos substituir no lugar de x da função mais externa o valor da função que está mais interna.

Em relação ao domínio, a gente vai encontrar o conjunto dos valores de x que são aceitos pela função.

Passo 2

Assim, vamos calcular f g x   utilizando o método descrito acima.

Assim a gente tem:

f x = sin ⁡ x

g x = 1 - x

f g x = sin ⁡ 1 - x

Em relação ao domínio, não podemos ter valores negativos dentro dessa raiz, então o domínio é:

D f g x = x   ϵ   R   x ≥ 0

O mesmo procedimento é utilizado para encontrarmos g f x

f x = sin ⁡ x

g x = 1 - x

g f x = 1 - sin ⁡ x

Em relação ao domínio, não podemos ter valores negativos dentro dessa raiz, então o domínio é:

sin ⁡ x �� 0

D g f x = x   ϵ   R   | 2 π n ≤   x ≤ π + 2 π n

Passo 3

Por fim, para encontrarmos o valor de f f x   e   g g x vamos colocar a função dentro dela mesmo:

f x = sin ⁡ x

f f x = sin ⁡ ( sin ⁡ x )

O seu domínio aqui é o conjunto dos números reais pois não temos restrições:

D f f x = R

g x = 1 - x

g g x = 1 - 1 - x

Novamente não podemos ter número negativo dentro da raiz, sendo assim:

D g g x = x   ϵ   R   |   x ≥ 0

Resposta

f g x = sin ⁡ 1 - x

D f g x = x   ϵ   R   x ≥ 0

g f x = 1 - sin ⁡ x

D g f x = x   ϵ   R   | 2 π n ≤   x ≤ π + 2 π n

f f x = sin ⁡ sin ⁡ x

D f f x = R

g g x = 1 - 1 - x

D g g x = x   ϵ   R   |   x ≥ 0

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