Enunciado

  1. Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y = x - x 3 no ponto ( 1,0 )
    1. Usando a definição 1
    2. Usando a equação 2
  2. Encontre a equação da reta tangente da parte (a)
  3. Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como verificação, dê um zoom em direção ao ponto ( 1,0 ) até que a parábola e a reta fiquem indistinguíveis.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema temos que obter a inclinação da reta tangente à y = x - x 3 no ponto ( 1,0 ) . Pra isso vamos usar as duas definições.

Além disso vamos obter a equação da reta tangente a esse ponto e obter o gráfico da função e da reta tangente.

Parece complicado? 😊

A primeira definição para obter a inclinação da reta é dada por

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Já a segunda definição é dada por

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

A partir de m , podemos definir a equação da reta tangente como

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto 1,0

Saca só! 😐

Passo 2

Usando a definição 1, temos

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Se a = 1 , então

m = lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1

Substituindo f x e f 1 ...

m = lim x → 1 ⁡ x - x 3 - 1 - 1 3 x - 1

m = lim x → 1 ⁡ x - x 3 x - 1

Podemos simplificar o numerador, colocando - x em evidência

m = lim x → 1 ⁡ - x x 2 - 1 x - 1

Perceba que temos como fatorar x 2 - 1

m = lim x → 1 ⁡ - x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1 x - 1

Assim conseguimos simplificar x - 1 no numerador e no denominador

m = lim x → 1 ⁡ x x + 1

Calculando o limite...

m = lim x → 1 ⁡ x x + 1 = - 1 ⋅ 1 + 1

m = - 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Usando a equação 2

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Substituindo f a + h e f a para a = 1 , temos

m = lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 + h 3 - 1 - 1 3 h

m = lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 + h 3 h

Simplificado...

m = lim h → 0 ⁡ 1 + h - h 3 + 3 h 2 + 3 h + 1 h  

m = lim h → 0 ⁡ - h 3 - 3 h 2 - 2 h h

Perceba que podemos colocar h em evidencia no numerador e simplificar com o denominador

m = lim h → 0 ⁡ h - h 2 - 3 h - 2 h

m = lim h → 0 ⁡ - h 2 - 3 h - 2

Aplicando o limite

m = lim h → 0 ⁡ - h 2 - 3 h - 2 = - 0 - 0 - 2

m = - 2

Legal, né? 😉

Passo 4

A equação da reta tangente pode ser calculada por

y - y 1 = m x - x 1

Se m = - 2 , x 1 = 1 e y 1 = 0 ...

y = - 2 ( x - 1 )

y = - 2 x + 2

Bacana? 😬

Passo 5

Para esboçar o gráfico, a questão nos disse para usar uma calculadora gráfica...

Portanto, plotando os gráficos da função e da reta tangente, temos

E dando um zoom no ponto ( 1,0 )

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

  1. m = - 2
  2. m = - 2
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Seja f x = x 2 . Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta y = 1 2 x + 3 .
Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f x = - x 2 e de g x = 1 2 + x 2 . Determine r .
Sabe-se que r é uma reta que passa pelo ponto 0,2 e que é tangente ao gráfico de f x = x 3 . Determine r .
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. g x = x + 1 x , no ponto de abscissa 1
Determine beta para que y = beta x - 2 seja tangente ao gráfico de f (x) = x^3 - 4 x .