Determine beta para que y = beta \* x - 2 seja tangente ao gráfico de f(x) = x^3 - 4x .

Passo 1

Olá, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão vamos lembrar que a equação da reta tangente é dada por,

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Deste modo, para que y = β x - 2 seja tangente a f , a derivada no ponto de tangência deve ser igual ao da reta, ou seja:

f ' x = β

Derivando f x ficamos com,

f ' x = 3 x 2 - 4 x

Logo,

3 x 2 - 4 = β

Encontramos uma relação para β ,mas ainda precisamos juntar mais alguns pontinhos para resolver essa questão.

Passo 2

Além disso, no ponto de tangencia, o valor de y na reta e na função são iguais:

β x - 2 = x 3 - 4 x                   E q u a ç ã o   1

Se já sabemos que 3 x 2 - 4 = β , podemos multiplicar todos os termos por x

3 x 2 - 4 = β

3 x 3 - 4 x = β x                 E q u a ç ã o   2

Assim, somando as equações 1 e 2 :

β x - 2 + 3 x 3 - 4 x = x 3 - 4 x + β x

- 2 + 3 x 3 = x 3

2 x 3 = 2

x 3 = 1

x = 1

Passo 3

Isso significa que o ponto de tangência ocorre no ponto de abcissa 1 , e como a derivada no ponto de tangência deve ser igual ao coeficiente angular da reta tangente:

f ' x = β

3 x 2 - 4 = β

Substituindo x = 1

3 1 2 - 4 = β

β = - 1

Resposta

β = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados