Enunciado

Uma curva tem por equação y = f ( x )

a) Escreva uma expressão para a inclinação da reta secante pelos pontos:

P 3 , f 3   e   Q x , f x

b) Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente em P

Passo 1

Opa! Bora lá! Essa questão nos fala de uma curva genérica, que não conhecemos a função.

y = f x

E pede, na letra (a) pra a gente escrever uma expressão para a inclinação da reta secante pelos pontos:

P 3 , f 3   e   Q x , f x

Bom, uma reta é dada pela equação

y - y 1 = m x - x 1

Em que ( x 1 , y 1 ) é um ponto qualquer e m é o coeficiente angular da reta

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Pra isso, precisamos de 2 pontos e isso nós já temos!

No item b, precisamos de uma coisa parecida, mas em vez de calcular uma reta que passa por 2 pontos da curva, queremos uma reta que passa por apenas 1 ponto da curva. Como você acha que podemos levar um caso até o outro?

A variável x aqui é uma das coordenada do ponto Q . E a diferença x - 3 é a distância horizontal entre P e Q . Se a gente fizer o limite dessa distância x - 3 tendendo a zero, vamos chegar no caso em que os 2 pontos são o mesmo, e vai ser como se a nossa secante fosse uma tangente.

Calma! Vai ficar mais claro em breve!

Passo 2

Uma reta secante é uma linha reta que conecta dois pontos em uma curva, então uma reta secante através de P 3 , f 3 e Q x , f x pode ser simplesmente representada pela equação da linha que contém ambos os pontos. A inclinação é dada por ( Δ y Δ x ) .

Então é só calcular a inclinação da linha que passa pelos dois pontos, então:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Na nossa nomenclatura:

m = y Q - y P x Q - x P

Nos pontos P 3 , f 3 e Q x , f x

m = f x - f 3 x - 3

Passo 3

Agora, na letra (b) a gente quer uma expressão para a inclinação da reta tangente em P .

Lembra do que falamos no passo 1? Se a gente fizer o limite da distância x - 3 tendendo a zero, vamos chegar no caso em que os 2 pontos da secante são o mesmo ponto, e vai ser como se a nossa secante fosse uma tangente.

Quando x - 3 → 0 , temos que x → 3 .

Então:

m t a n g e n t e = lim x → 3 ⁡ f x - f 3 x - 3

Agora nosso ponto Q x , f x misterioso tá beeem pertinho de P , e a distância deles tende a zero. E a reta só cruza a curva em um único ponto.

Prontinho! É só isso!

Resposta

  1. m = f x - f 3 x - 3
  2. m = lim x → 3 ⁡ f x - f 3 x - 3
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Sabe-se que r é uma reta que passa pela origem e que é tangente ao gráfico de f x = x 3 + 2 x 2 - 3 x . Determine r .
A reta s para pelo ponto 3,0 e é normal ao gráfico de f x = x 2 no ponto a , b .a) Determine a , b .b) Determine a equação de s .
Determine a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto 0 , 4 3 e que seja normal ao gráfico de y = x 3 .
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Sabe-se que r é uma reta perpendicular à reta 3 x + y = 3 e tangente ao gráfico de f x = x 3 .Determine r .