Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 5 9 + 4 r 2 d r

Passo 1

Vamos começar fazendo algumas mexidas na integral:

∫ 5 9 + 4 r 2 d r = 5 ∫ 1 9 + 4 r 2 d r

Agora vamos fazer uma mudança de variável:

r = 3 2 u → r 2 = 9 4 u 2

Derivando dos dois lados:

d r = 3 2 d u

Passo 2

Substituindo na integral:

5 ∫ 1 9 + 4 r 2 d r = 5 ∫ 1 9 + 4 9 4 u 2 ∙ 3 2 d u = 5 ∫ 1 9 + 9 u 2 ∙ 3 2 d u

Colocando em evidência:

5 ∫ 1 9 1 + u 2 ∙ 3 2 d u = 5 6 ∫ 1 1 + u 2 d u

Calculando a integral:

5 6 ∫ 1 1 + u 2 d u = 5 6 arctan ⁡ u

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

5 6 arctan ⁡ u = 5 6 arctan ⁡ 2 r 3 + C

Protinho!!!

Resposta

5 6 arctan ⁡ 2 r 3 + C

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