Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = x^3 + 3 x

Aqui a sacada é a seguinte, a derivada de u é 3 x^2 + 3 e x^2 + 1 aparece na nossa integral original. Então quando a gente substituir ela vai ser cortada, deixando a nossa integral só em função de u . E é exatamente isso que queremos!

(d u)/(d x) = 3 x^2 + 3

Agora calculamos d u :

d x = (1)/(3 x^2 + 3) d u = (1)/(3) (1)/(x^2 + 1) d u

Substituindo:

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x = int (x^2 + 1) u^4 ((1)/(3) (1)/(x^2 + 1) d u)

(1)/(3) int u^4 d u

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Passo 2

Vamos integrar:

(1)/(3) int u^4 d u = (1)/(3) (u^(4 + 1))/(4 + 1) + C

= (u^5)/(15) + C

Lembrando que u = x^3 + 3 x , então:

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x = ((x^3 + 3 x)^5)/(15) + C

Prontinho!

Resposta

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x = ((x^3 + 3 x)^5)/(15) + C

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