Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int ((a + b x^2))/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x

Passo 1

Vamos usar as técnicas de integração, ok? Olhando bem para a função, podemos usar substituição da seguinte forma,

u = 3 a x + b x^3 => d u = 3 a + 3 b x^2 = 3 ( a + b x^2 )

Substituindo na integral,

int ((a + b x^2))/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x = int (((1)/(3) d u))/(u^((1)/(2))) =

Reescrevendo,

int (((1)/(3) d u))/(u^((1)/(2))) = (1)/(3) int u^(- (1)/(2)) d u

Usando a regra da potência,

(1)/(3) int u^(- (1)/(2)) d u = (1)/(3) 2 u^((1)/(2)) + C

Voltando a variável inicial,

(1)/(3) 2 u^((1)/(2)) + C = (2)/(3) sqrt(3 a x + b x^3) + C

Resposta

int ((a + b x^2))/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x = (2)/(3) sqrt(3 a x + b x^3) + C

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