Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int cos^4 theta s e n theta d theta

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int cos^4 theta s e n theta d theta

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = cos theta

Agora calculamos d u :

(d u)/(d theta) = - sin theta

d theta = - (1)/(sin theta) d u

Repara que o sin theta já esta na nossa integral original?! Quando a gente substituir vamos poder cortar e a nossa integral vai ficar toda em função de u !

Substituindo:

int cos^4 theta s e n theta d theta = int u^2 s e n theta (- (1)/(sin theta) d u)

= int - u^2 d u

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Passo 2

int - u^2 d u = - (u^(2 + 1))/(2 + 1) + C

= - (u^3)/(3) + C Lembrando que u = cos theta , então:

int cos^4 theta s e n theta d theta = (cos^3 theta)/(3) + C

Prontinho!

Resposta

int cos^4 theta s e n theta d theta = (cos^3 theta)/(3) + C

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