Calcule a integral indefinida.

∫   x 2 + 1 x 3 + 3 x 4   d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫   x 2 + 1 x 3 + 3 x 4   d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u =   x 3 + 3 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 x 2 + 3     d x ∴

1 3 d u = x 2 + 1     d x  

Substituindo na integral, obtemos:

∫   x 2 + 1 x 3 + 3 x 4   d x = ∫   u 4 1 3 d u

Bem mais agradável e imediata, não? Agora vamos resolver ela!!

Passo 3

Colocando a constante para fora, temos:

∫   u 4 1 3 d u = 1 3 ∫ u 4 d u

Pela regra da potência, temos:

∫   u 4 1 3 d u   = 1 3 1 4 + 1     u 4 + 1   + C ∴

∫   u 4 1 3 d u   = 1 3 1 5     u 5 + C ∴

∫   u 4 1 3 d u   = u 5 15 + C

Voltando a variável inicial, temos:

u 5 15 + C = 1 15 x 3 + 3 x 5 + C    

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫   x 2 + 1 x 3 + 3 x 4   d x   = 1 15 x 3 + 3 x 5 + C    

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