Enunciado

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C 2 x - y + z d s ,   onde C é o segmento de reta que liga A ( 1,2 , 3 ) a B = 2,0 , 1 .

Passo 1

A primeira coisa que a gente vai fazer é escrever equações paramétricas pra essa reta.

Fazendo o vetor A B → , a gente encontra:

A B → = ( 1 , - 2 , - 2 )

Daí, a gente escreve a reta como:

C = x = 1 + t y = 2 - 2 t z = 3 - 2 t

Temos que observar uma coisa importante! O valor de t está variando de 0 a 1, beleza? Podemos reparar nisso vendo os valores de x , y e z ... Sendo assim, já identificamos os nossos limites de integração!

Beleza, agora vamos para o d s ! Ele é a norma desse vetor, no caso:

d s = 1 2 - 2 2 + - 2 2 = 9 = 3

Passo 2

Vamos substituir tudo agora e calcular...

∫ 0 1 2 1 + t - 2 - 2 t + 3 - 2 t 3 d t

∫ 0 1 2 + 2 t - 2 + 2 t + 3 - 2 t 3 d t

∫ 0 1 2 t + 3 3 d t

∫ 0 1 6 t + 9   d t

6 t 2 2 + 9 t 0 1 = 3 + 9 = 12

Pronto! Esse é o resultado da integral😉

Resposta

12

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4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Ondeg. Fx , y , z = x 2 - y 2 ,z 2 - x 2 ,y 2 - z 2 e C é a curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano y = 1 , percorrida no sentido anti-horario
Encontre a integral de linha de f ( x , y , x ) = 3 / x 2 + y 2 + z 2 sobre a curva r ( t ) = t i + t j + t k , 1 ≤ t ≤ ∞ .
Encontre a integral de linha de f ( x , y , z ) = x + y + z sobre o segmento de reta de ( 1,2 , 3 ) a ( 0 , - 1,1 ) .
Integre f ( x , y , z ) = x + y - z 2 sobre o caminho entre ( 0,0 , 0 ) a ( 1,1 , 1 ) (veja a figura a seguir) dado por: C 1 : r ( t ) = t i + t 2 j ,0 ≤ t ≤ 1 C 2 : r ( t ) = i + j + t k ,0 ≤ t ≤ 1
Calcule 1C (x – y) dx + (x + y) dy no sentido anti-horário aoredor do triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).