Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x e x

Passo 1

(a) Para acharmos os intervalos onde nossa função é crescente ou decrescente, vamos ver os pontos onde f ' x > 0 ou f ' x < 0 .

f x = x e x

Derivando,

f ' x = e x + x e x

Para f ' x > 0 :

e x + x e x > 0

Logo,

e x 1 + x > 0

Ah, mas e x é sempre positivo. Então basta garantir que 1 + x > 0 . Logo,

x > - 1

Assim, nossa função será crescente no intervalo - 1 ,   ∞

Para f ' x < 0 :

e x 1 + x < 0

Logo,

x < - 1

Portanto, nossa função será decrescente no intervalo - ∞ , - 1

Passo 2

(b) Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos f ' x = 0 . Então vamos lá!

f ' x = 0

Logo,

e x ( 1 + x ) = 0

Resolvendo, temos:

x + 1 = 0 → x = - 1

Do Passo 1 sabemos que nossa função é decrescente até o ponto - 1 e a partir desse ponto ela começa a ficar crescente. Isso nos diz que o ponto x = - 1 será um ponto de mínimo. Logo,

f - 1 = e - 1 ⋅ - 1

Fazendo as contas:

f - 1 = - 1 e

Assim, o ponto - 1 ,   - 1 e será um ponto de mínimo.

Passo 3

Para verificarmos a inflexão, vamos fazer o teste da segunda derivada.

f ' x = e x + x e x

Derivando,

f ' ' x = 2 e x + x e x

Para f ' ' x > 0 :

e x ( 2 + x ) > 0

Logo,

x > - 2

Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.

Para f ' ' x < 0 :

e x ( 2 + x ) < 0

Logo,

x < - 2

E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,

f ' ' x = 0

Assim,

e x ( 2 + x ) = 0

Resolvendo, temos:

x + 2 = 0

Isto é,

x = - 2

Resposta

a)

Decrescente:

- ∞ , - 1

Crescente:

- 1 ,   ∞

b)

Ponto de mínimo:

- 1 ,   - 1 e

c)

Côncava para cima:

x < - 2

Côncava para baixo:

x > - 2

Pontos de inflexão:

x = - 2

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