Enunciado

Em uma certa cidade a temperatura (em ° F ) t horas depois das 9 horas foi aproximada pela função:

T t = 50 + 14 s e n π t 12

Calcule a temperatura média durante o período entre 9h e 21h.

Passo 1

Para acharmos o valor médio de uma função num intervalo nós usamos a seguinte expressão:

V m é d = ∫ a b f x d x b - a

Como de 9h até 21h se passaram 12h. Vamos considerar o intervalo [ 0,12 ] pois nossa função começa em 9h, sacou?! Então vamos lá

T m é d = ∫ 0 12 50 + 14 s e n π t 12 d r 12 - 0

Logo,

T m é d = 1 12 ∫ 0 12 50 + 14 s e n π t 12 d t

Repare que agora basta calcular a integral:

I = ∫ 0 12 50 + 14 s e n π t 12 d t

Não esquece: ∫ s e n a x   d x = - c o s ⁡ a x a + c

Passo 2

Separando a integral, temos:

I = 50 ∫ 0 12   d t + 14 ∫ 0 12 s e n π t 12 d t

Usando o poderoso Não esquece e integrando:

I = 50 t 0 12 + 14 - cos ⁡ π t 12 π 12 0 12

Aplicando os pontos 0 e 12 :

I = 50 12 - 0 + 14 ⋅ - cos ⁡ 12 π 12 π 12 - - cos ⁡ 0 π 12

Isto é,

I = 600 + 14 ⋅ 2 π 12

Fazendo as contas:

I ≅ 706,95

Mas lá do Passo 2 a gente sabe o seguinte:

T m é d = I 12

Agora é só correr pro abraço!

T m é d = 706,95 1 2 → T m é d ≅ 59 ° F

Resposta

T m é d ≅ 59 ° F

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