Enunciado

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

23. f x = x 2 + x + 1 3

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = 2 x + 1 3 x 2 + x + 1 2 3 ≡ 0

2 x + 1 = 0

x = - 1 / 2

Ao observar pelo gráfico então, a função passa a crescer em x 1 = - 1 / 2   , ponto de mínimo, até (+) infinito. É o intervalo:

- 1 2 ,   + ∞

Passo 3

(b) f é decrescente desde (-) infinito até x = - 1 / 2 . O intervalo será:

- ∞ ,   - 1 / 2

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima a partir do primeiro ponto de inflexão em x = - 2 , até o segundo ponto de inflexão em x = 1 , quando depois volta à concavidade pra baixo. Logo, o intervalo será:

- 2 ,   1

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo desde (-) infinito até o primeiro ponto de inflexão em x = - 2 . Volta a ter concavidade voltada pra baixo no segundo ponto de inflexão em x = 1 , até (+) infinito. Logo, o intervalo é

- ∞ ,   - 2 ∪ ( 1 ,   + ∞ )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = - - 2 x 2 - 2 x + 4 9 x 2 + x + 1 5 3 = 0

2 x 2 + 2 x - 4 = 0

x 1 = - 2 + 4 + 4 ∙ 2 ∙ 4 4 = 1

x 2 = - 2 - 4 + 4 ∙ 2 ∙ 4 4 = - 2

São esses os pontos em que a função muda de concavidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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