Enunciado

Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que e x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que e x ? E qual cresce mais lentamente?

  1. 10 x 4 + 30 x + 1
  2. x ln ⁡ x   _ x
  3. 1 + x 4
  4. 5 2 x
  5. e - x
  6. x e - x
  7. e cos ⁡ x
  8. e x - 1

Passo 1

Bom, o enunciado pele para verificar quais funções crescem mais rapidamente que e x quando x → ∞ ? Quais crescem à mesma taxa que e x ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se
  2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  3. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

  1. O item a, pede para verificar a função 10 x 4 + 30 x + 1   em relação a e x . Vamos verificar:
  2. lim x → ∞ ⁡ 10 x 4 + 30 x + 1 e x

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    lim x → ∞ ⁡ 40 x 3 + 30 e x =     lim x → ∞ ⁡ 120 x 2 e x =     lim x → ∞ ⁡ 120 x e x =     lim x → ∞ ⁡ 240 e x = 0    

    Logo, o item a, cresce mais lentamente.

    Passo 2

  3. Vamos calcular o limite:
  4. lim x → ∞ ⁡ xln ⁡ x - x   e x

    =   lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ x - 1 ) e x

    = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 + x   1 x e x

    = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 + 1 e x

    = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x   e x

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    = lim x → ∞ ⁡ 1 x e x

    = lim x → ∞ ⁡ 1 x e x = 0

    Logo, o item b, cresce mais lentamente

    Passo 3

  5. Vamos verificar:
  6. lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 e x

    Vamos aplicar a raiz em todo o limite:

    lim x → ∞ ⁡ 1 + x 4 e x

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    =   lim x → ∞ ⁡ 4 x 3 e x =   lim x → ∞ ⁡ 12 x 2 e x = lim x → ∞ ⁡ 24 x e x = lim x → ∞ ⁡ 24 e x

    = 0 = 0

    Logo, o item c, cresce mais lentamente

    Passo 4

  7. Vamos verificar:
  8. lim x → ∞ ⁡ 5 2 x e x =   lim x → ∞ ⁡ 5 2 e x = 0 , pois 5 2 e < 1

    Portanto cresce mais lentamente

    Passo 5

  9. Vamos verificar:
  10. lim x → ∞ ⁡ 3 2 x e x =   lim x → ∞ ⁡ 3 2 e x = 0   , pois 3 2 e < 1

    Logo, o item e, cresce mais lentamente

    Passo 6

  11. Vamos verificar:
  12. lim x → ∞ ⁡ x e x e x =   lim x → ∞ ⁡ x = ∞

    Logo, o item f, cresce mais rapidamente

    Passo 7

  13. Vamos verificar:
  14. lim x → ∞ ⁡ e cos ⁡ x e x

    Observe que:

    - 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

    Então,

    e - 1 ≤   e cos ⁡ x ≤ e 1

    Logo,

    e - 1 e x ≤   e cos ⁡ x e x ≤ e 1 e x

    Pelo Teorema do Sanduiche, afirmamos que:

    lim x → ∞ ⁡ e - 1 e x = 0 =   lim x → ∞ ⁡ e 1 e x

    Então,

    lim x → ∞ ⁡ e cos ⁡ x e x = 0

    Logo, o itemg, cresce mais lentamente

    Passo 8

  15. Verificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ e x - 1 e x =   lim x → ∞ ⁡ 1 e ( x - x + 1 ) =   lim x → ∞ ⁡ 1 e = 1 e  

Portanto, o item h, cresce a mesma taxa

Resposta

Crescem mais lentamente: a, b, c ,d, e,g

Crescem mais rapidamente: f

Crescem à mesma taxa: h

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