Enunciado

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

19. f x = 3 x 4 - 4 x 3

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a) f é crescente a partir de x = 1 , até (+) infinito. Então, o intervalo será:

( 1 ,   + ∞ )

Passo 3

(b) f é decrescente desde (-) infinito até x = 1 , com ressalva do ponto x = 0 , em que a derivada se anula, pois é horizontal ao eixo x . O intervalo será:

- ∞ ,   0 ∪ ( 0 ,   1 )

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima desde (-) infinito até o primeiro ponto de inflexão em x = 0 . Daí, volta a ter concavidade voltada pra cima a partir do segundo ponto de inflexão em x = 2 / 3 até (+) infinito. Logo, o intervalo será:

- ∞ ,   0 ∪ ( 2 / 3 ,   + ∞ )

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo entre os pontos de inflexão x = 0 e x = 2 / 3 . Logo, o intervalo é

( 0 ,   2 / 3 )

Passo 6

(e)Pra determinar os pontos de inflexão, precisamos derminar os pontos em que a derivada segunda da função se anula. Derivamos:

f ' x = 12 x 3 - 12 x 2

f ' ' x = 36 x 2 - 24 x

Igualamos a derivada segunda a zero e teremos:

36 x 2 - 24 x = 0

x = 0 e x = 2 / 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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56. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam positivas e crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f g tem a propriedade indicada.b) f g é constante em - ∞ ,+ ∞ .
Use a parte a) do Exercício 59 para mostrar que f x = x + s e nx é crescente no intervalo - ∞ ,+ ∞ .
53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.53. b) Se f e g forem crescentes em um intervalo, então f . g també
59. Use a Definição 4.1.1 para provar que:b) Se f for decrescente nos intervalos a ,c e c ,b , então f será decrescente em a ,b .
Use a parte b) do Exercício 59 para mostrar que f x = cos ⁡ x - x é decrescente no intervalo - ∞ ,+ ∞ .