Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

A x = x x + 3

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde A é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

A ' x = x + 3 + x 2 x + 3

A ' x = x + 3 × 2 x + 3 + x 2 x + 3

A ' x = 3 ( x + 2 ) 2 x + 3

Estudando o sinal, vemos que a raiz no denominador é sempre positivo, enquanto o numerador é sempre positivo em valores de x maiores que - 2 e negativo em valores menores que - 2 , então:

A é decrescente para valores de x no intervalo - 3 , - 2 e crescente no intervalo ( - 2 , ∞ ) .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

A ' x = 0

3 ( x + 2 ) 2 x + 3 = 0

x = - 2

Como A decresce até x = - 2 e cresce a partir dele, x = - 2 é ponto de mínimo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

A ' ' x = 3 2 × x + 3 - x + 2 2 x + 3 x + 3

A ' ' x = 3 2 × 2 x + 3 x + 3 - ( x + 2 ) 2 x + 3 x + 3

A ' ' x = 3 2 × x + 4 2 x + 3 3 2

A ' ' x = 3 x + 4 4 x + 3 3 2

Estudando o sinal de A ' ' temos que 4 x + 3 3 2 é sempre positivo pois não existe raiz real de número negativo, e 3 x + 4 também será positiva pois A só está definida para x > - 3 . Então, essa função possui concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) A é decrescente para valores de x no intervalo - 3 , - 2 e crescente no intervalo ( - 2 , ∞ ) .

(b) x = - 2 é ponto de mínimo local.

(c) A função possui concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.

(d)

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