Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 39
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Estudando o sinal, vemos que a raiz no denominador é sempre positivo, enquanto o numerador é sempre positivo em valores de maiores que e negativo em valores menores que , então:
é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
Passo 2
Item b:
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.
Passo 3
Item c:
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Estudando o sinal de temos que é sempre positivo pois não existe raiz real de número negativo, e também será positiva pois só está definida para . Então, essa função possui concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.
Passo 4
Item d:
Com as informações obtidas, temos o gráfico:
Resposta
(a) é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
(b) é ponto de mínimo local.
(c) A função possui concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.
(d)