Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

B x = 3 x 2 3 - x

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde B é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

B ' x = 3 2 3 x 2 3 - 1 - 1

B ' x = 2 x 3 - 1

B ' x = 2 - x 3 x 3

Estudando o sinal de B ' temos a tabela:

B é decrescente para valores de x nos intervalos - ∞ , 0 e ( 8 , ∞ ) e crescente no intervalo ( 0,8 ) .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

B ' x = 0

2 - x 3 x 3 = 0

2 - x 3 = 0

x = 8

Como B cresce até x = 8 e decresce a partir dele, x = 8 é ponto de máximo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

B ' ' x = 2 - 1 3 x - 1 3 - 1  

B ' ' x = - 2 3 x - 4 3  

Estudando o sinal de B ' ' temos que - 2 3 x - 4 3   é sempre positivo para valores antes de zero e negativo para valores depois de zero. Então B possui concavidade voltada para cima no intervalo - ∞ , 0 e concavidade para baixo no intervalo 0 , ∞ .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) B é decrescente para valores de x nos intervalos - ∞ , 0 e ( 8 , ∞ ) e crescente no intervalo ( 0,8 ) .

(b) x = 8 é ponto de máximo local.

(c) B possui concavidade voltada para cima no intervalo - ∞ , 0 e concavidade para baixo no intervalo 0 , ∞ .

(d)

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