Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f x = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' x = 6 x 2 - 6 x - 12

f ' x = 6 x 2 - x - 2

f ' x = 6 x - 1 2 2 - 9 4

Para f ' x > 0 :

6 x - 1 2 2 - 9 4 > 0

x - 1 2 2 - 9 4 > 0

x - 1 2 2 > 9 4

x - 1 2 > 3 2

x < - 1 ou   x > 2

Para f ' x < 0 :

6 x - 1 2 2 - 9 4 < 0

x - 1 2 2 - 9 4 < 0

x - 1 2 2 < 9 4

x - 1 2 < 3 2

- 1 < x < 2

Portanto, f é crescente para valores de x nos intervalos - ∞ , - 1 e 2 , ∞ e decrescente no intervalo - 1,2 .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

f ' x = 0

6 x - 1 2 2 - 9 4 = 0

x - 1 2 2 - 9 4 = 0

x - 1 2 2 = 9 4

x - 1 2 = 3 2

x = - 1 ou x = 2

Como f cresce até x = - 1 e decresce a partir dele, x = - 1 é ponto de máximo local.

Como f decresce até x = 2 e cresce a partir dele, x = 2 é ponto de mínimo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' ' x = 12 x - 6

Para f ' ' x > 0

12 x - 6 > 0

x > 1 2

Para f ' ' x < 0

12 x - 6 < 0

x < 1 2

Logo, f possui concavidade para cima para valores de x no intervalo 1 2 , ∞ e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , 1 2 . E o ponto de inflexão é x = 1 2 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) f é crescente para valores de x nos intervalos - ∞ , - 1 e 2 , ∞ e decrescente no intervalo - 1,2 .

(b) x = - 1 é ponto de máximo local e x = 2 é ponto de mínimo local.

(c) f possui concavidade para cima para valores de x no intervalo 1 2 , ∞ e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , 1 2 . E o ponto de inflexão é x = 1 2 .

(d)

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