Enunciado

Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número a .

g t = t 2 + 5 t 2 t + 1 ,   a = 2

Passo 1

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Aqui a gente vai ter que utilizar da definição de continuidade e das propriedades dos limites para provarmos que a função dada é continua em a = 2 .

Vamos começar com a definição de continuidade.

Uma função é continua em um número a se

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Isso é:

  • A função f ( a ) deve estar definida;
  • lim x → a ⁡ f ( x ) existe;
  • lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .

Sendo assim, a gente vai precisar calcular o limite da nossa função em a e também calcularmos o valor da nossa função também em a .

Passo 2

Nesse exercício iremos analisar o limite de:

lim t → 2 ⁡ g ( t ) = lim t → 2 ⁡ t 2 + 5 t 2 t + 1

Começaremos o exercício aplicando as regras da soma de limites, a regra da divisão e a regra da constante vezes um limite, sendo assim, podemos reescrever o limite como:

lim t → 2 ⁡ g ( t ) = lim t → 2 ⁡ t 2 + 5 lim t → 2 ⁡ t 2 lim t → 2 ⁡ t + lim t → 2 ⁡ 1

Agora podemos substiuir o valor de t na expressão, com isso, temos:

lim t → 2 ⁡ g ( t ) = 2 2 + 5 ( 2 ) 2 2 + 1 = 14 5

Passo 3

Agora iremos calcular o valor da função no ponto a = 2 :

g 2 = 2 2 + 5 ( 2 ) 2 2 + 1 = 14 5

Como o valor do limite no ponto a é igual ao valor da função calculada em a , então g é contínua em a .

Resposta

A função é continua no ponto dado.

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Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) Existe f ( 1 ) ?b) Existe lim x → 1 + ⁡ f ( x ) c) Existe lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) d) f é contínua em x = 1 ?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) Existe f ( - 1 ) ?b) Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) c) Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) d) f é contínua em x = - 1 ?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoQue valor deve ser atribuído a f ( 2 ) para tornar a função estendida contínua em x = 2 ?
representada graficamente na figura a seguir: f é contínua em quais valores de x?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoPara que novo valor f ( 1 ) deve ser alterada para remover a descontinuidade?