Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = a r c   t g ( x 2 )

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = 2 x x 4 + 1

Essa função zera quando :

x = 0

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = 2 x x 4 + 1 > 0

    Isso acontece quando estamos no intervalo de x até o infinito   ( 0 ,     + ∞ ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' ( x ) = 2 x x 4 + 1 < 0

    E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até o zero da função x :   ( - ∞ ,       0 ) .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' x = 2 - 6 x 4 ( x 4 + 1 ) 2  

    Essa função zera quando:

    x = ± 1 3

  5. Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima . A função possui um termo quadrático com sinal negativo, fazendo com que qualquer número maior ou menor que a raiz (em módulo) torna -   1 3 ,   +   1 3 .
  6. Os demais valores fora do intervalo, farão com que a função seja negativa em: - ∞ , - 1 3 e + 1 3 , + ∞ .
  7. O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = ±   1 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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