Enunciado

Prove que os gráficos das funções secante e cossecante não têm pontos de inflexão.

Passo 1

Para determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função. Para secante:

f x = sec ⁡ x

f ' x = s e c   x . t g   x

f ' ' x = s e c   x . t g ² x + s e c ³ x

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Então:

f ' ' x = s e c   x . t g ² x + s e c ³ x

f ' ' x = ( 1 cos ⁡ x ) . ( s en ⁡ x c o s   x ) ² + ( 1 cos ⁡ x ) ³

f ' ' x = sen ² ⁡ x + 1 c o s ³   x

Sendo assim, o termo f ' ' x não poderá ser igual a 0. Analisando o gráfico:

Sendo assim, não há pontos de inflexão para a função secante.

Passo 2

Analisando a função cossecante:

f x = cos sec ⁡ x

f ' x = - c o s s e c   x . c o t g   x

f ' ' x = c o s s e c   x . c o t g ² x + c o s s e c ³   x

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Então:

f ' ' x = c o s s e c   x . c o t g ² x + c o s s e c ³ x

f ' ' x = ( 1 s en ⁡ x ) . ( cos ⁡ x s e n   x ) ² + ( 1 s en ⁡ x ) ³

f ' ' x = co s ² ⁡ x + 1 s e n ³   x

Sendo assim, o termo f ' ' x não poderá ser igual a 0. Analisando o gráfico:

Sendo assim, não há pontos de inflexão para a função cossecante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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