Enunciado

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão. Se:

f x = x 4 - 8 x 2 + 16

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = 4 x 3 - 16 x

Essa função zera quando :

4 x x 2 - 4 = 0

A função zera quando:

4 x = 0

x = 0

E também zera quando:

x 2 - 4 = 0

x = ± 2

  1. A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
  2. f ' ( x ) = 4 x 3 - 16 x > 0

    Isso acontece quando estamos no intervalo da raiz negativa até a raiz nula - 2 ,     0 e da raiz positiva até o infinito [ 2 ,     + ∞ ] .

    Dentro dos intervalos citados a função está sempre crescendo.

  3. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
  4. f ' x = 4 x 3 - 16 x < 0

    E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até a raiz negativa   - ∞ ,   - 2 e também de zero até a raiz positiva   [ 0 ,     2 ] .

    Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

    Passo 2

    Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

    f ' ' ( x ) = 12 x 2 - 16

    A raiz zera quando :

    12 x 2 - 16 = 0

    x = ± 4 3

  5. Como a segunda derivada possui uma função quadrática, isso significa que independente do valor da raiz que colocarmos, esse valor elevado ao quadrado será positivo, e qualquer valor no infinito (positivo e negativo) que seja de maior valor em módulo que o valor de x deixará a função positiva. Então, será zero em: ( - ∞ ,   - 4 3 ) e ( + 4 3 , + ∞ )
  6. Como qualquer valor entre a raiz e o infinto sempre serão positivos, os demais valores dentro do intervalo - 4 3 ,   + 4 3 será negativo.

O ponto de inflexão são os zeros da segunda derivada x = ± 4 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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