Enunciado

54. Encontre underset(x -> (pi)/(4))(lim) (t g x - 1)/(x - (pi)/(4)) .

Passo 1

Galera, assim... se a gente for tentar resolver do jeito convencional, com certeza não vai dar bom não. Perceba que não vai ter como “sumir” com aquele x - (pi)/(4) e o denominador vai continuar se anulando.

Então, que tal a gente começar fazendo uma substituição para sumir com aquele denominador e facilitar a nossa vida, hein?!

Vamos denotar

t = x - (pi)/(4)

Assim, fazendo t = x - (pi)/(4) , temos que t -> 0 quando x -> (pi)/(4) . Além disso,

x = t + (pi)/(4)

Passo 2

Agora, vamos substituir as informações obtidas no nosso limite.

underset(t -> 0)(lim) (t g ( t + (pi)/(4) ) - 1)/(t)

O que a gente vai nesse exato momento é abrir aquela tangente ali em cima usando a fórmula da tangente da soma de dois arcos. Com isso, teremos

t g (t + (pi)/(4)) = (t g ( t ) + t g ( (pi)/(4) ))/(1 - t g (t) t g ( (pi)/(4) ))

(t g (t) + 1)/(1 - t g ( t ))

Vamos substituir no nosso limite:

underset(t -> 0)(lim) ((t g (t) + 1)/(1 - t g ( t )) - 1)/(t)

Arrumando o nosso numerador.....

underset(t -> 0)(lim) ((t g (t) + 1 - 1 + t g ( t ))/(1 - t g ( t )))/(t)

underset(t -> 0)(lim) ((2 t g (t))/(1 - t g ( t )))/(t)

Passo 3

Vamos abrir aquela tangente de cima em (s e n (t))/(cos (t)) pra gente poder usar o Teorema que diz que underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) = 1 .

underset(t -> 0)(lim) (((2 s e n (t))/(cos (t)))/(1 - t g ( t )))/(t)

underset(t -> 0)(l i m) ((2 s e n (t))/(cos (t)))/((1 - t g (t)) t)

underset(t -> 0)(l i m) (2 s e n (t))/(t) underset(t -> 0)(l i m) (1)/(cos (t) (1 - t g (t)))

2 underset(t -> 0)(l i m) (s e n (t))/(t) underset(t -> 0)(l i m) (1)/(cos (t) (1 - t g (t)))

2 (1)/(cos (0) (1 - t g (0))) = 2 (1)/(1.1) = 2

Resposta

2

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