Enunciado

37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

43- f x = x + 3 x - 2

Passo 1

Gente, vamos começar derivando a função:

f ´ x = x - 2 - x - 3 x - 2 2 = 1 x 2 - 4 x + 4

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = 0 × x 2 - 4 x + 4 - 2 x - 4 x 2 - 4 x + 4 2 =   - 2 x + 4 x 2 - 4 x + 4 2

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Galera, aqui nesse item nós não temos como igualar a primeira derivada a zero, pois o numerador é 1. Então, só nos resta vamos achar os pontos em que f não é diferenciável, esses também são pontos críticos. Você pode não estar se lembrando.... Mas tem um Teorema que fala sobre isso:

Suponha que f seja uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto x 0 . Se f tiver um extremos relativo em x = x 0 , então x = x 0 será um ponto crítico de f ; assim, ou f ´ x 0 = 0 ou f não é diferenciável em x 0 .

Agora lembrou ????

Assim,

x 2 - 4 x + 4 = 0

x 1 e x 2 = 2

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = 2 , temos:

f ´ ´ 2 = 0

Isso quer dizer que o teste da segunda derivada é inconclusivo.

E agora ??? Bom, como esse teste deu inconclusivo, vamos usar o teste da primeira derivada. Então, vamos verificar o comportamento de f ´ ( x ) nos seguintes intervalos:

x < 2 e x > 2

Para isso vamos testar dois pontos na função, um a direita e outro a esquerda do zero.

f ´ 1 = 1

f ´ 4 = 1 4

Isso quer dizer que antes e depois do dois a função tem o mesmo sinal.

Caraaaaa, como f ´ ( x ) tem o mesmo sinal tanto a esquerda quanto a direita do x 0 , f ( x ) não tem extremo relativo nesse ponto.

Resposta

Não há extremos relativos.

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