Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

l i m y → ∞   2   -   3 y 2 5 y 2   +   4 y  

Passo 1

Falaaaaaa aí, meu Campeão Tribruxo!!!!

Bora embarcar nessa jornada?

Bom, se fazemos o mais óbvio, achamos uma indeterminação:

l i m y → ∞   2   -   3 y 2 5 y 2   +   4 y = ∞ ∞  

O que iremos fazer então?

Bem, como o limite é no infinito, vamos tentar fazer aparecer termos fracionários com constantes no numerador e potências de y no denominador. Isso vai nos ajudar porque, NO INFINITO, esses termos vão ser zero:

l i m y → ∞ 1 y = 0

Pra isso, vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais elevada de y do denominador… Vamos nessa!

Passo 2

l i m y → ∞ 2   -   3 y 2 5 y 2   +   4 y

A potência mais elevada de x do denominador é y 2 , então vamos ficar com:

l i m y → ∞ 2 y 2 - 3 y 2 y 2 5 y 2 y 2 + 4 y y 2

Simplificando:

l i m y → ∞   2 y 2 - 3 5 + 4 y

Passo 3

O que vamos fazer agora??

O ovo de dragão nos disse a próxima etapa, temos que substituir o limite na função, bora então.

Mas primeiro, vamos abrir a equação com as propriedades de limite. Por linearidade, podemos dizer que:

l i m y → ∞   2 y 2 - 3 5 + 4 y = l i m y → ∞ 2 y 2 - l i m y → ∞ 3 l i m y → ∞ 5 + l i m y → ∞ 4 y

Quando temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, o resultado se aproxima de zero. Lembra que falamos disso lá no passo 1? Então os termos a seguir são nulos:

l i m y → ∞ 2 y 2 = 0

l i m y → ∞ 4 y = 0

E nossa expressão fica:

l i m y → ∞ 2 y 2 - l i m y → ∞ 3 l i m y → ∞ 5 + l i m y → ∞ 4 y = - l i m y → ∞ 3 l i m y → ∞ 5

Por fim, o limite da constante é igual à própria constante:

- l i m y → ∞ 3 l i m y → ∞ 5 = - 3 5

E nossa resposta final é:

l i m y → ∞   2   -   3 y 2 5 y 2   +   4 y = - 3 5

Arrasamos!!!!!!

Resposta

l i m y → ∞   2   -   3 y 2 5 y 2   +   4 y   =   - 3 5  

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Determine o limite ou explique porque ele não existe l i m x → 1 1 - x 1 - x
Determine o limite ou explique porque ele não existe lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x