Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ 1 - e x 1 + 2 e x

Passo 1

Bom galera, queremos calcular esse limite, porém na substituição direta, achamos uma indetermonação:

lim x → ∞ ⁡ 1 - e x 1 + 2 e x = - ∞ ∞

Então vamos lembrar de uma coisinha sobre limite tendendo a infinito. Presta atenção!

Quando dividimos um número finito (ou seja, muito pequeno diante do infinito) por algo gigantesco, temos resultado 0:

lim x → ∓ ∞ ⁡ a x b = 0

lim x → ∓ ∞ ⁡ a e x = 0

E se a gente fizer aparecer vários termos com essa carinha, a gente aluno um monte de coisa e simplifica bem a expressão. Hmmmm, interessante!

No geral, temos que colocar termos em evidência de forma que os x vão parar nos denominadores. Lá nos termos polinomiais, colocávamos a maior potência de x , aqui vamos colocar a exponencial.

Passo 2

Beleza, a gente pega a função dentro do limite e coloca em evidência o e x , fica bem assim:

lim x → ∞ ⁡ 1 - e x 1 + 2 e x = lim x → ∞ ⁡ e x 1 e x - 1 e x 1 e x + 2

E agora simplificamos:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x - 1 1 e x + 2

Passo 3

Certo, agora vamos lembrar que o quociente do limite é o limite do quociente:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x - 1 1 e x + 2 = l i m x → ∞ 1 e x - 1 l i m x → ∞ 1 e x + 2

E o limite da soma é a soma dos limites:

l i m x → ∞ 1 e x - 1 l i m x → ∞ 1 e x + 2 = l i m x → ∞ 1 e x - l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 1 e x + l i m x → ∞   2

Opa olha só o que surgiu! Termos como os que comentei no passo 1 e eles são nulos:

l i m x → ∞ 1 e x = 0

Então ficamos com:

l i m x → ∞ 1 e x - l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 1 e x + l i m x → ∞   2 = - l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞   2

E por fim, limite de constante é a própria constante:

- l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞   2 = - 1 2

Terminamos!

lim x → ∞ ⁡ 1 - e x 1 + 2 e x = - 1 2

E aí? Entendeu tudinho?

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 - e x 1 + 2 e x = - 1 2

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underset(x - 2^+)(lim) (1)/(x^2 - 4)
underset(x - - 1^+)(lim) (x)/(x^2 - 1)
underset(x - - 2^+)(lim) (x^2 - 1)/(2 x + 4)
underset(x - - 2^-)(lim) (x^2 - 1)/(2 x + 4)
Determine o limite underset(x - 0^+)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))]