Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ ( e - x + 2 cos ⁡ 3 x )

Passo 1

Bom galera, vamos resolver esse limite!

lim x → ∞ ⁡ ( e - x + 2 cos ⁡ 3 x )

Porém temos um problema que é que cosseno de infinito não está definido, pois cosseno é uma função periódica e restrita ao mesmo intervalo em todo o domínio.

Mas vamos fazer algumas manipulações matemática e ver o que a gente consegue fazer!

Passo 2

O limite da soma é a soma dos limites, então:

lim x → ∞ ⁡ ( e - x + 2 cos ⁡ 3 x ) = l i m x → ∞ e - x + l i m x → ∞ 2 cos ⁡ 3 x

Agora a gente tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim x → ∞ ⁡ a x b = 0

Ou:

lim x → ∞ ⁡ a b x = 0

Dividindo um número finito por úm número gigantesco, temos um número muito muito pequeno.

l i m x → ∞ e - x = l i m x → ∞ 1 e x = 0

Então:

l i m x → ∞ e - x + l i m x → ∞ 2 cos ⁡ 3 x = l i m x → ∞ 2 cos ⁡ 3 x

Passo 3

Ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ 2 cos ⁡ 3 x  

Bom, a agora eu tenho que te contar uma coisa chata, não tem o que fazer pra simplesmente sumir com esse cosseno.

E como eu disse no passo 1, não existe um limite tendendo ao infinito quando está em uma função de sin ⁡ x , cos ⁡ x e qualquer função que oscile o valor sempre, nesse caso:

lim x → ∞ ⁡ 2 cos ⁡ 3 x   = ∅

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ( e - x + 2 cos ⁡ 3 x ) = ∅

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