Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ ( x ) x 2 + 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados encontrar o limite de:

lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ ( x ) x 2 + 1

Pra esse problema a gente já tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim x → ∞ ⁡ a x b = 0

Ou:

lim x → ∞ ⁡ a b x = 0

E tem outro caso também:

lim x → ∞ ⁡ x a b = ∞

Passo 2

Beleza, a gente pega a função dentro do limite e põe o x em evidência no denominador, fica bem assim:

lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ ( x ) x 2 + 1 → lim x → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ ( x ) x 2 1 + 1 x 2

Pronto, agora lembra que a gente pode aplicar o limite separadamente em uma soma? Certo, então a gente já pode aplicar alguns limite dentro do parênteses que são iguais aqueles que eu falei no passo 1, fica:

lim x → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ ( x ) x 2 1 + 1 x 2 → lim x → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ ( x ) x 2 1 + 0

→ lim x → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ ( x ) x 2

Bom, a agora eu tenho que te contar uma coisa, que eu acho que você já sabe, o seno só pode assumir valores entre - 1 e + 1 , isso ao quadrado continua o mesmo, que vamos chamar de a .

Beleza, então isso seria tipo o caso que eu falei no passo 1, logo:

lim x → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ ( x ) x 2 = lim x → ∞ ⁡ a x 2 = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ ( x ) x 2 + 1 = 0

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