Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de O A

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume gerado pela rotação ao redor da seguinte reta:

R 2 em torno de O A

Na seguinte figura:

Para isso, devemos saber que o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 2 , que é delimitada pela função y = x 4 .

Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação.

No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta y = 0 .

Assim, a área do disco é igual a:

A x = π R 2 - π r 2 = π 1 2 - x 4 2

Passo 3

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π 1 - x 4 2 d x = π ∫ 1 - x 4 2   d x = π x - x 3 2 3 / 2 + C

Passo 4

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1.

Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho.

Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 π 1 - x 4 2 d x = π x - 2 x 3 2 3 0 1

V = π 1 - 2 3 = π 3

Entendeu direitinho? Responde aee 😉

Resposta

O resultado final é:

V = π 3

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Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = c o s y , a reta y = 1 6 π e eixo y
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec 2 ⁡ x , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 4 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 ⁡ x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = c o s x e pelas retas y = 1 e x = π 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.