Encontre o limite.

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ

Mas perceba que:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ = 0

E

lim θ → 0 ⁡ θ + tg ⁡ θ = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 θ + tg ⁡ θ sen ⁡ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 θ sen ⁡ θ + tg ⁡ θ sen ⁡ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 θ sen ⁡ θ + sec ⁡ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 lim θ → 0 ⁡ θ sen ⁡ θ + sec ⁡ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = 1 lim θ → 0 ⁡ θ sen ⁡ θ + lim θ → 0 ⁡ sec ⁡ θ

Passo 3

Se temos o limite fundamental: lim x → 0 ⁡ se n ⁡ x x = 1 , então:

lim θ → 0 ⁡ θ sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 sen ⁡ θ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ θ sen ⁡ θ = 1 lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ θ sen ⁡ θ = 1

Passo 4

E como lim θ → 0 ⁡ sec ⁡ θ = 1 . Temos então:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = 1 lim θ → 0 ⁡ θ sen ⁡ θ + lim θ → 0 ⁡ sec ⁡ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = 1 1 + 1

Portanto:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = 1 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ + tg ⁡ θ = 1 2

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